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Heap tree 만들기

Heap tree는 완전이진트리 형태로 모든 부모 노드의 값이 자식 노드 보다 크거나 (max heap) 모든 부모 노드의 값이 자식 노드 보다 작은 (min heap) tree를 말한다. 이 글에서는 max heap tree를 만드는 방법을 알아본다.

Heap tree를 생성하는 buildHeapTree()이 동작하는 절차는 다음과 같다. N은 원소의 갯수.

재귀로 구현된 heapify()가 등장하는데, 이 함수가 하는 역할은 주어진 node를 부모로 시작해서 단말 node로 내려가면서 max heap 조건에 맞도록 변경해 주는 역할을 한다. heapify()는 큰 자식과 부모를 swap() 하는 경우 재귀하므로 시간 복잡도는 O(트리높이)가 된다.

Heap tree를 생성하는 방법을 고민해 본 적이 있다면, 부모 node들을 순회 할 때 역순으로 순회하는게 얼마나 영리한 방법인지 무릎을 쳤을 것이다. 내 얘기다;;

 

예제

임의의 정렬되지 않은 배열 { 2, 7, 5, 4, 1, 6, 10, 3, 9, 8}을 예로들어 보자. 10개의 node를 가지는 tree를 배열로 구현 할 때, 부모 node들의 index는 소숫점_버림(N/2) – 1로 계산할 수 있다. 따라서 10개의 node를 가지는 이 tree의 부모 node들의 위치는 [0], [1], [2], [3], [4]이다. (C/C++로 구현 할때는 N/2한 값을 그냥 int형 변수에 넣으면 된다)

각 부모 node들과 자식 node들을 subtree라고 하면 이 예제는 다음과 같이 5개의 subtree들로 구분될 수 있다.

 

Heapify – Subtree A

부모인 4번째 index의 값과 하나 밖에 없는 자식인 9번째 index의 값을 비교한다. 자식의 값이 더 크므로 부모와 swap()한다.

 

Heapify – Subtree B

부모인 3번째 index와 왼쪽 자식인 7번째, 오른쪽 자식인 8번째를 비교해서 가장 큰 오른쪽 자식과 부모 node를 swap()한다.

 

Heapify – Subtree C

오른쪽 자식인 index 6번과 부모인 index 2번을 교체한다.

 

Heapify – Subtree D

1번 index의 왼쪽 자식이 더 크므로 부모와 swap()한다.

 

 

Heapify – Subtree E

2번 index의 값이 더 커서 부모인 0번 index와 swap()하고 보니 2번 index를 부모로 하는 subtree가 더이상 max heap이 아니게 된다.

그래서 다시 한번 heapify()를 호출해서 max heap을 만든다.

 

Code